이동평균모형 (Moving average models : MA) 식별법

2020/06/12 - [time series] - 자기회귀모형 (Autoregressive models : AR) 식별법

자기회귀모형 (Autoregressive models : AR) 식별법

이전글과 이어집니다. 

 

 

모형식별(correlogram 활용법)

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이동평균모형 (Moving average models : MA)

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정의

• 시점 t의 y는 예측오차 (forecast errors)의 가중이동평균으로 표현

• 𝜀𝑡 normally distributed white noise (평균 = 0, 분산 = 1)으로 가정
• C는 drift term(절편)을 의미 (상수 = 평균!)
• q 차 이동평균모형이라 하며 MA(q)로 표시
• 보통 q=1 또는 q=2 까지 영향을 미치며, 이를 MA(1), MA(2) 모형이라 함
• 이동평균평활법과(Moving average smoothing)는 다른모형
• MA(1)와 MA(2) 모형

 

MA(q)모형

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MA(1) 모형 시뮬레이션

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데이터 생성 방법 (MA(1))

set.seed(12)
y <- ts(numeric(300))
e <- rnorm(300) #백색잡음

for(t in 2:300){
y[t] <- 𝜃 * e[t-1] + e[t]
} 

# 2가지 확인 사항
ggtsdisplay(y)
Arima(y, order=c(0,0,1)) #계수(모수) 추정값 확인하기

 

arima.sim() 함수를 이용한 ARIMA 모형 데이터 생성

# AR 모형 생성
AR_1 <- arima.sim(list(order=c(1,0,0),ar=0.7),n=300)
AR_2 <- arima.sim(list(order=c(2,0,0),ar=c(0.3,0.2)),n=300)

# MA 모형 생성 
MA_1 <- arima.sim(list(order=c(0,0,1),ma=0.8),n=300)
MA_2 <- arima.sim(list(order=c(0,0,2),ma=c(0.8,0.3)),n=300)

 

 

arima.sim() 함수를 이용한 ARIMA 모형 데이터 생성 방법

• 정상성, 가역성 조건에 맞지 않는 계수값들을 대합하면?
  • 에러가 발생한다. (단, AR의 경우에만 에러가 발생)
    • MA 모형은 항상 정상성을 만족하기 때문에 에러가 발생하지 않음 (주의 해야함.)

 

Φ(계수 값)에 따른MA(1) 데이터 시뮬레이션

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Φ1=0.9 인 경우

MA_1 <- arima.sim(list(order=c(0,0,1),ma=0.9),n=300) # 데이터 생성

ggtsdisplay(MA_1)
Arima(MA_1, order=c(0,0,1))

 

 

Φ1=0.6 인 경우

MA_1 <- arima.sim(list(order=c(0,0,1),ma=Φ1),n=300) # 데이터 생성
ggtsdisplay(MA_1)
Arima(MA_1, order=c(0,0,1))

 

Φ1=-0.8 인 경우

 

Φ1=-0.5 인 경우

 

 

MA(2) 모형 시뮬레이션

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Φ1=0.8, Φ2=0.3 인 경우

MA_2 <- arima.sim(list(order=c(0,0,2),ma=c(Φ1,Φ2)),n=300)

ggtsdisplay(MA_2)
Arima(MA_2, order=c(0,0,1))

 

 

가상의 MA(2) 시계열로 분석해보기 (Box-Jenkins 방법론)

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# 𝜃1 (계수 값) = 0.6인 MA(1)시계열 생성  
set.seed(12)
MA_1 <- arima.sim(list(order=c(0,0,1), ma=0.6),n=300) # 데이터 생성

# 데이터 나누기
train <- window(MA_1, start=1, end=250)
test <- window(MA_1, start=250, end=300)

 

모형식별

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ACF와 PACF를 통해 모형식별

# ACF와 PACF를 통해 모형 식별
ggtsdisplay(train) # ACF는 MA(1)을 보이는 반면 PACF는 MA(2)로 파악된다.

H0 : 정상시계열

H1 : 정상시계열이 아니다

 

통계검정 활용 - KPSS 검정

유의수준 0.01에서 임계값 0.739일 때 검정통계량은 0.048이 나왔습니다. 유의수준 안에 검정통계량이 속하므로 귀무가설을 채택하게 됩니다. 즉 정상시계열을 만족한다.

 

 

 

모수 추정

Arima() 함수 이용 (log MLE 방법이 default로 들어가 있음!)

• Train set을 모수추정 시행
• ARIMA 모형에서 order=c(0,0,1) 할당

# MA(1)인 경우
Arima(train, order=c(0,0,1))
Arima(train,order=c(0,0,1), include.mean = F) # 절편이 없는 모형 
auto.arima(train) # 정보손실을 바탕으로 가장 우수한 걸 뽑아 보여줌

또한 MA(q) 모형의 식으로 표현해보면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

𝑦=0.5464𝑦𝑡−1+ε𝑡−0.0151 (mean) 𝑦=0.5465𝑦𝑡−1+ε 𝑡 𝑦=0.5465𝑦𝑡−1+ε 𝑡

 

적합성 진단 (Diagnosis)

통계 검정을 통해 모형 선정 (잔차의 독립성 확인 및 검정)

• 잔차 독립성 검정 후, 적합하지 않은 경우 모형 추정
• chekresiduals() 함수 이용하여 잔차 ACF와 잔차 분포 확인
• Ljung-Box 검정을 통한 잔차 확인 (포트맨토 검정)

MA_1_fit <- Arima(train, order=c(0,0,1))
checkresiduals(MA_1_fit)

MA_1_fit_meanf <- meanf(train,h=50)
checkresiduals(MA_1_fit_meanf)

MA_1_fit_naive <- naive(train, h=50)
checkresiduals(MA_1_fit_naive)

 

 

 

 

 

예측

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MA_1_F <- forecast(MA_1_fit, h=50)
MA_1_F_meanf <- meanf(train, h=50)
MA_1_F_naive <- naive(train, h=50)

accuracy(MA_1_F, test)
accuracy(MA_1_F_meanf, test)
accuracy(MA_1_F_naive, test)

• Train set에 대하여 test set의 accuracy를 파악해본 결과 train과 test의 차이가 가장 작은 MA(1) 모형이 가장 잘 적합 된 것으로 보입니다.
• 과적합된 모델은 없는 것으로 보입니다.

 

 

적합 및 예측 값 차트로 표현하기

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MA(1) forecast

 

meanf

평균에 적합되었습니다.

 

 

naive

실제 값과 적합된 값에서 약간 오른쪽으로 한 칸씩 밀려진 모습을 모여줍니다. 실제값과 적합값의 차이가 적은 것으로 보여집니다.