ARIMA models

#ARIMA models

---

ARIMA(Autoregressive Integrated Moving Average Models)

ARIMA (p,d,q) models

• Φ(B) 는 차수가 p인 B의 다항식: Φ(B) = 1+ Φ1B + Φ2 B2 + … + Φp Bp
• 𝜃 (B) 는 차수가 q인 B의 다항식: 𝜃 (B) = 1+ 𝜃1B + 𝜃2B2 + … + 𝜃𝑞B
• AR: p → 자기회귀모형의 차수
• I: d → 차분한 횟수
• MA: q → 이동평균모형의 차수

Sepecoal cases

• ARIMA(0,0,0): 백색잡음 (white noise)
• ARIMA(0,1,0) with no constant : 랜덤워크 (Random walk)
• ARIMA(0,1,0) with constant: 절편항 (drift term)이 있는 랜덤워크
• ARIMA(p,0,0): 자기회귀모형 AR(p)
• ARIMA(0,0,q): 이동평균모형 MA(q)

ARIMA(p,d,q) models

yt-M = zt라 두면 다시 위와 같이 정리되는 것을 알 수 있다.

위 식에서 만약 차분을 하지 않게되면 intercept form과 mean form에 차분 횟수(d)를 0으로 넣어주면 됩니다.

 

ARIMA 모형 시뮬레이션

---

arima.sim() 함수를 통해 AR, MA, ARMA, ARIMA 확률과정을 따르는 데이터를 생성할 수 있다. 정답을 알고 있는 상황에서 ARIMA모형을 식별할 수 있다.

set.seed(1234)
arima_1_1_1 <- arima.sim(model=list(order=c(1,1,1),**ar=0.7,ma=-0.2**),n=300)

ggtsdisplay(arima_1_1_1)
summary(ur.kpss(diff(arima_1_1_1))) 

# 정상시계열이 아니다.-> 차분하여 정상시계열을 만족하게 해야한다. 
# ACF와 PACF를 보고 AR과 MA의 차수를 결정해야 한다.

• 유의수준 1%에서 임계값 0.739
• 검정통계량 4.009
• 검정통계량이 임계값을 벗어나므로 귀무가설(=정상시계열이다)기각
• 따라서 정상시계열이 아니다.

위의 kpss검정을 통해 정상시계열이 아닌 것을 확인할 수 있습니다.

또한 좌측의 ACF 그래프를 보면, 모든 값이 신뢰구간을 넘어서는 값을 보이고 있습니다.

그래서 ACF(자기회귀)와 PACF(부분자기회귀) 그래프를 보며 AR과 MA, 그리고 차분 횟수까지 결정해주며 변동값을 확인하며 적절한 횟수를 결정해야합니다.

arima_fit <- Arima(arima_1_1_1, order=c(1,1,1)) # 시뮬레이션 모델을 Arima에 적합
ggtsdisplay(diff(arima_1_1_1)) # 차분 - 잔차가 정상시계열을 만족하는 것을 확인할 수있다. 

checkresiduals(arima_fit)

위의 그래프로 checkresiduals를 통해 잔차를 확인해보면, 유의확률(p-value)이 유의수준 0.05보다 큼으로 귀무가설(자기상관성은 없음)을 채택하게 된다.

# ARIMA 모형 시뮬레이션
arima_F <- forecast(arima_fit)
autoplot(arima_F) + autolayer(arima_F$fitted)

summary(arima_F)

 

#ARIMA modeling in R

---

auto.arima()는 어떻게 작동되는가?

auto.arima()는 정보손실을 기준으로 적합될 값을 추천해주는데, AICc가 작을수록 적합이 더 잘 된것임을 알 수 있음. 즉 정보를 손실량을 줄인 적합방법으로 쓰일 수 있다.

하지만 항상 최선의 값을 반환해주는 것이 아니기 때문에 이를 명심하자~!

 

일반적인 ARIMA 모형 구축 절차

---

 

Arima()에서 상수항(constants)처리 방법

---

• d=0일 때
  • yt의 평균값으로 추정
• d>0일 때
  • c = μ= 0 으로 추정
• include.mean (기본값은 TRUE)
  • d=0일 떄만 추정됨
  • include.mean=FALSE → c=μ= 0
• include.drift (기본값은 FALSE)
  • d=1인 경우, μ≠0으로 허용 (drift라고 불림)
  • d >1 인 경우, 허용 안 함
• include.constant
  • 만일 TRUE이고, d=0이면 include.mean =TRUE, d=1이면 include.drift=TRUE로 정해짐
  • 만일 FALSE이고, include.mean과 include.drift는 FALSE로 정해짐

 

Arima()에서 상수항 (constants)이해하기

 

Source

https://statkclee.github.io/finance/stat-time-series-arma.html#4_추억의_arima